Invers Matriks 4×4 Metode OBE Kunci K

Pembahasan invers matriks 4×4 cara operasi baris elementer terdiri dari dua bagian:

OBE Kunci K
OBE Kunci Genap

Bagian pertama OBE Kunci K versi PDF memang sangat panjang dan sedikit melelahkan karena terdiri dari 16 rumus dan 17 langkah OBE.

Namun hal ini normal, karena invers matriks 3×3 metode OBE Gancu dan Kunci saja yang terdiri dari 9 elemen membutuhkan 10 langkah OBE.

Matriks 4×4

Bentuk umum:

$\Large A= \begin{bmatrix}a\sb{11} &a\sb{12} &a\sb{13} &a\sb{14} \\a\sb{21} &a\sb{22} &a\sb{23} &a\sb{24} \\a\sb{31} &a\sb{32} &a\sb{33} &a\sb{34} \\a\sb{41} &a\sb{42} &a\sb{43} &a\sb{44} \end{bmatrix}$

Nama elemen matriks diganti dengan huruf a – p, sehingga matriks:

$\Large A = \begin{bmatrix}a &b &c &d \\e&f &g &h \\i &j &k &l \\m &n &o &p \end{bmatrix}$

Invers Matriks 4×4

Caranya sederhana yaitu menambahkan matriks identitas di sebelah kanan.

$\Large \left [\left.\begin{matrix} a &b &c &d \\ e &f &g &h \\ i &j &k &l \\ m &n &o &p \end{matrix}\right|\begin{matrix} 1 &0 &0 &0 \\ 0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &1 &0\\ 0 &0 &0 &1 \end{matrix}\right]$

Lakukan OBE hingga matriks sebelah kiri menjadi matriks identitas dan invers matriks pun diperolah yaitu matriks sebelah kanan.

$\Large \left [\left.\begin{matrix} 1 &0 &0 &0 \\ 0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &1 &0\\ 0 &0 &0 &1 \end{matrix}\right|\begin{matrix} a &b &c &d \\ e &f &g &h \\ i &j &k &l \\ m &n &o &p \end{matrix}\right]$

Namun, pada saat mengerjakannya tidaklah sesederhana itu. Seringkali kita kesulitan dan muter-muter tidak jelas.

Oleh karena itu, saya tawarkan dua hal yaitu “Kunci” sebagai patokan rumus OBE dan “K” sebagai urutan langkah OBE.

Kunci

Kunci OBE adalah diagonal utama matriks yaitu:

Elemen a adalah kunci kolom pertama
Elemen f adalah kunci kolom kedua
Elemen k adalah kunci kolom ketiga
Elemen p adalah kunci kolom keempat

Invers Matriks 4x4 Metode OBE Kunci

Fungsinya sebagai patokan atau acuan rumus OBE tiap kolom.

Contohnya mengubah elemen m menjadi nol menggunakan kunci a.

$\Large A = \begin{bmatrix} 4 &2 &3 &1 \\5&9 &6 &7 \\-1 &7 &-3 &-5 \\8 &-2 &-4 &-6 \end{bmatrix}$

R4-2R1

$\huge \Rightarrow$

$\Large A = \begin{bmatrix} 4 &2 &3 &1 \\5&9 &6 &7 \\-1 &7 &-3 &-5 \\0 &2 &-10 &-8 \end{bmatrix}$

“K”

Pada prinsipnya OBE K sama dengan Eliminasi Gauss Jordan yaitu menghasilkan matriks eselon baris tereduksi.

Fungsinya hanya memandu langkah pengerjaan OBE agar lebih efisien.

Invers Matriks 4x4 Metode OBE K

Urutan lengkapnya yaitu e – i – m – n – j – o – p – l – k – h – d – c – g – f –b – a.

Aturannya yaitu ubah elemen berwarna merah menjadi angka nol dan elemen berwarna hijau menjadi angka satu.

Contoh Soal

Dua contoh matriks yang saya bahas memenuhi syarat suatu matriks mempunyai invers yaitu determinan ≠ 0.

Contoh: Tentukan invers matriks berikut ini!

$\large C = \begin{bmatrix} 8 &-8 &8 &-8 \\ 2&4 &3 &-1 \\ 1 &3 &7 &0 \\ -3 &1 &4 &1 \end{bmatrix}$

$\large D = \begin{bmatrix} 2 &-1 &5 &11 \\2&8 &9 &8 \\4 &-11 &-10 &-7 \\-2 &4 &7 &6 \end{bmatrix}$

Penyelesaian:

Tambahkan matriks identitas.
Khusus untuk mengubah elemen e menjadi nol, kita bisa menggunakan elemen yang lebih mudah dihitung.
Ubah elemen i menjadi nol menggunakan kunci elemen a.
Ubah elemen m menjadi nol menggunakan kunci elemen a.

Invers Matriks 4x4 Metode OBE Kunci K4

5. Ubah elemen n menjadi nol menggunakan kunci elemen f. Invers Matriks 4x4 Metode OBE Kunci K5

6. Ubah elemen j menjadi nol menggunakan kunci elemen f.

7. Ubah elemen o menjadi nol menggunakan kunci elemen k.

8. Ubah elemen p menjadi angka satu dengan cara: Invers Matriks 4x4 Metode OBE Kunci K8

9. Ubah elemen l menjadi nol menggunakan kunci elemen p.

10. Ubah elemen k menjadi angka satu dengan cara: Invers Matriks 4x4 Metode OBE Kunci K10

11. Ubah elemen h menjadi nol menggunakan kunci elemen p.

12. Ubah elemen d menjadi nol menggunakan kunci elemen p.

13.Ubah elemen c menjadi nol menggunakan kunci elemen k.

14. Ubah elemen g menjadi nol menggunakan kunci elemen k.

15. Ubah elemen f menjadi angka satu dengan cara: Invers Matriks 4x4 Metode OBE Kunci K15

16. Ubah elemen b menjadi nol menggunakan kunci elemen f.

17. Ubah elemen a menjadi angka satu dengan cara: Invers Matriks 4x4 Metode OBE Kunci K17

Sehingga invers matriks C dan D yaitu:

$\Large C^{-1} = \begin{bmatrix} -\frac{7}{272} &-\frac{15}{68} &\frac{25}{68} &-\frac{29}{68} \\ -\frac{7}{272} &-\frac{19}{68} &-\frac{9}{68} &\frac{5}{68} \\\frac{1}{68} &-\frac{3}{34} &\frac{5}{34} &\frac{1}{34} \\-\frac{15}{136} &-\frac{10}{17} &\frac{11}{17} &-\frac{8}{17} \end{bmatrix}$

$\Large D^{-1} = \begin{bmatrix} -\frac{7}{160} &\frac{103}{480} &\frac{71}{480} &-\frac{1}{30} \\ \frac{1}{20} &\frac{1}{60} &-\frac{13}{60} &-\frac{11}{30} \\ -\frac{17}{80} &-\frac{11}{5} &-\frac{27}{5} &-\frac{48}{5} \\ \frac{1}{5} &-\frac{1}{10} &-\frac{1}{5} &-\frac{3}{10}\end{bmatrix}$